Vinculando los concepto

A continuación les propongo construir un mapa conceptual, el cual incluya por lo menos los conceptos: DERIVADA, FUNCIÓN DERIVADA, RECTA SECANTE, RECTA TANGENTE, PENDIENTE, COCIENTE INCREMENTAL, LIMITE DE UNA FUNCIÓN, CÁLCULO INFINITESIMAL, REGLA DEL COCIENTE, REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN, REGLA DE LA CADENA,VELOCIDAD MEDIA, VELOCIDAD INSTANTÁNEA, GRAPHMATICA, OPTIMIZACIÓN, HISTORIA, FÍSICA.
Para su construcción les facilito los siguientes enlaces, uno de los cuales es para descargar un programa que les permitirá el diseño del mismo:
Cmap Tools
Manual de ayuda

Optimización

En unaE

A partir       Veamos como resolver la anterior situación problemática:

    A

Optimización from marielaosoriomate
La derivada de una función nos permite resolver fácilmente situaciones problemáticas en las cuales es menester optimizar alguna variable.
Luego de la resolución de la actividad anterior, vemos algunos videos que nos ayudarán a comprender el alcance del concepto en el análisis de funciones que modelizan diferentes situaciones problemáticas:

A partir de lo visto anteriormente, resolver:

1. De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.
2. Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.
3. Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.

Los dibujos que corresponden a las anteriores situaciones problemáticas son:

La función derivada de funciones trigonométricas

A partir del siguiente video:

Veamos como se determinan las derivadas de algunas funciones trigonométricas:

Ejercicios resueltos derivadas trigonométricas from José

Determinar la función derivada de las siguientes funciones:

Regla de la cadena

Hasta el momento hemos analizado el concepto de derivada desde diferentes enfoques:

Y también hemos aprendido a derivar diferentes funciones:

Para poder ir cerrando esta parte del camino, los invito a visitar los siguientes sitios de la web, y a partir de ellos deberán poder determinar la derivada de funciones mucho más complejas:
Regla de la cadena
Regla de la cadena_1
Regla de la cadena_ Wikipedia

A partir de la lectura de los sitios recomendados y la visualización del video, determinar la función derivada de las siguientes funciones:

Sobre el infinito

Los invito a leer un pequeño cuento, "El libro de arena", escrito por Jorge Luis Borges, uno de los escritores  más destacados de la Argentina y un fragmento del libro "La matemática del laberinto".

Librosdementira Lee - Escribe - Comparte

Fue Alfredo R. Palacios (1997) quién también escribió sobre el infinito en "La matemática del laberinto":

La infinitud y el infinito han tenido siempre una fascinación singular para el pensamiento humano. Disfrazado de tiempo, yaciendo entre los puntos de una recta, asistiendo a las clases numéricas, tentándonos sobre los granos de arena de una playa o de todas las playas del mundo, el infinito será en algún momento intento de nuestra finitud.

Invadirá nuestra mente en un instante de la vida y allí trataremos de comprender lo que nunca hemos experimentado. Probablemente intentemos conformar nuestra razón con palabras y entonces daremos nombres a nuestra duda: "lo que nunca termina", "lo incontable", "lo ilimitado", "lo que no tiene fin".

Sin embargo, el desafío a la mente del hombre habrá sido dado una vez más. Esta herencia atávica, que vivió en el silencio de Pitágoras de Samos y que resonó por los laberintos de la humanidad en la voz multisecular de Zenón de Elea, tiene una particular atracción. Este intento racional por comprender uno de los atributos característicos de los dioses nos obligará a considerar filosofías y allí, como uno de los brotes más fecundos de la actividad del hombre en su trabajo, estarán las ideas matemáticas. La matemática, convertida en mágico aparato de introspección que  cala hasta las raíces más profundas del pensamiento. (p.54)

A partir de la lectura reflexiva del cuento de Borges y la cita de Alfredo Palacios deberán escribir un párrafo de entre cien y doscientas palabras, vinculando el concepto de derivada con los mismos.
Espero sus producciones, las cuales debatiremos entre todos.

Trabajo Práctico_1

Trabajopractico derivadas 1 from marielaosoriomate

Aprendiendo a usar el Grahmatica

En el blog encontrarán el linck para descargar un programita que nos ayudará en la determinación de la función derivada de una función y el valor de la derivada en un punto de la función, el mismo se llama Grahmatica.
Una vez instado el mismo en sus computadoras les recomiendo ver las siguientes diapositivas a modo de guía:

Anexo a grahmatica from marielaosoriomate

Derivada de una función en un punto- Actividad

Actividades from marielaosoriomate

Velocidad instantánea y derivada de una función en un punto

Los invito a seguir en este camino de aprendizaje...



Velocidad instantánea from marielaosoriomate

Como se ha podido concluir, la velocidad instantánea de un móvil en un tiempo dado está dada por el límite del cociente incremental, si es que el mismo existe.
El concepto de derivada al que hemos llegado a definir a través de funciones lineales y funciones cuadráticas, es válido para cualquier función. Se aplica no sólo en la física, sino en otras áreas como biología, economía, sociología, etc. Aunque en cada aplicación cambiarán las unidades en las que se miden la variable dependiente e independiente, el significado es el mismo: la pendiente de la recta tangente a la curva correspondiente a una función f en un punto x es la velocidad instantánea de cambio o ritmo instantáneo o cambio de tasa instantánea de cambio de la función f en dicho punto.
Completa las siguientes oraciones y compartir con sus compañeros:

Ø  El valor de la derivada de una función f en un punto a es equivalente a ………………………………………

Ø  La derivada de una función f es otra …………………………

Ø  Una función es derivable si ……………………………

 El siguiente video les ayudará a comprender el concepto de derivada aplicado a la física:

Respuestas optativas

Aquí les dejo algunas respuestas optativas de la primer actividad. Les recomiendo primero intentar realizarlas y luego analizar las posibles respuestas que les brindo.

Respuestas optativas de la primer actividad from marielaosoriomate

Cociente Incremental

A partir de las siguientes diapositivas deberán ir respondiendo las actividades pedidas y deberán plantear una situación problemática que pueda ser resuelta con los conceptos trabajados en esta etapa.

Cociente incremental from marielaosoriomate

Espero vuestros comentarios

Un poco de historia

Los conceptos matemáticos no fueron creados por puro "antojo" , son respuestas a problemas (de corte matemático o no).

El concepto de derivada es uno de los pilares del cálculo diferencial, veamos que sucedió al momento de su creación:

Como habrán podido ver, la construcción de un concepto matemático, en este caso la derivada de una función en un punto, fue un proceso complejo, en el cuál participaron grandes personajes de la historia matemática, y ha sido para dar respuesta a situaciones problemáticas, que hasta el momento no tenían resolución.

Para ir un poco más allá, analicemos los siguientes documentos, a partir de los cuales deberán ver el alcance del concepto desde diferentes marcos matemáticos y los inconvenientes que conlleva analizar el concepto sólo desde un punto de vista:

Consolidación de conceptos

La derivada en la enseñanza

Desde el análisis exhaustivo de los documentos y los videos, deberán realizar un informe sobre la historia de la construcción del concepto, el cuál deberá ser enviado en un archivo de word.

Revisando contenidos previos

Los invito a revisar conceptos trabajados anteriormente a partir de los siguientes enlaces:

• Función
• Límite de una función
• Límites y continuidad
• Descartes

A partir de lo visto en los links, y en grupos de dos o tres alumnos, expliquen con sus palabras las siguientes cuestiones:

a) Gráficamente, ¿qué significa que una función sea continua en un punto? Den un ejemplo de una función que sea continua en x = 5 y otra que no lo sea en ese mismo punto.

b) ¿Qué casos de discontinuidad puede presentar una función? Den un ejemplo en cada caso.

c) Desde el punto de vista analítico, ¿qué condiciones deben cumplirse para que una función sea continua en un punto?

d) Indiquen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifiquen sus respuestas. En los casos en que la respuesta sea falsa, den un contraejemplo. 

• La existencia del límite es condición necesaria para que una función sea continua en un punto.
• La existencia del límite es condición necesaria para que una función sea continua en un punto.
• Para que una función presente una discontinuidad no evitable de salto finito debe verificarse obligatoriamente que no exista el límite de esa función en ese punto.
• Las funciones polinómicas de cualquier grado son siempre continuas para cualquier valor de x.
• Las funciones logarítmicas f(x) = log (ax + b) son siempre continuas para cualquier valor de x.
• Todas las funciones cuadráticas f(x)= ax 2 + bx + c son continuas para cualquier valor de x.

Mapa conceptual

Camino que iremos recorriendo...

Objetivos y contenidos previos

Objetivos:

Que el estudiante sea capaz de:

Ø  Adquirir niveles de expresión claros y formales.

Ø  Trabajar en forma autónoma.

Ø  Hallar la definición de derivada a una curva en un punto.

Ø  Reconocer algunas aplicaciones que tiene la derivada.

Ø Trabajar el concepto de derivada desde el marco algebraico, el geométrico y el analítico.
Ø Utilizar en forma reflexiva la información y herramientas que brinda la web.

Contenidos previos:

Ø  Operaciones en el conjunto de los números reales.

Ø  Concepto de Función. Análisis de funciones.

Ø  Velocidad promedio o velocidad media.

Ø  Noción de recta secante y de recta tangente.

Ø  Representación gráfica de funciones lineales y funciones cuadráticas en los ejes cartesianos.

Ø  Ecuación de una recta dados dos puntos que pertenezcan a ella.

Ø  Pendiente de una recta.

Ø  Concepto de límite.

Ø  Continuidad.

Ø Utilización de calculadora.

Ø Utilización de recursos de la web 2.0

Introducción

Daremos inicio a la construcción y desarrollo de un conocimiento matemático, el cual será muy útil para resolver problemas existentes dentro y fuera de la matemática.

El concepto a trabajar es Derivada.

Para tal tarea debemos tener en cuentas conceptos tales como: velocidad promedio o velocidad media, noción de recta secante y de recta tangente; representación gráfica de funciones en los ejes cartesianos; ecuación de una recta dados dos puntos que pertenezcan a ella; pendiente de una recta; concepto de límite y continuidad.

El enfoque variacional y geométrico es el elegido para éste trabajo,  ya que saliendo de la línea de corte intramatemático, donde el concepto pareciera tener sólo existencia dentro de la misma matemática, nos llevará a una comprensión mayor del concepto a tratar en el curso.

Cuando hablamos de derivada, nos referimos a la derivada de una función en un punto dado. Esta herramienta nos permitirá predecir el comportamiento de una función en las cercanías del punto elegido.

Fue a partir de los trabajos de Newton y Leibniz, quienes fueron los “fundadores del cálculo diferencial, que se pudo dar respuesta a tantos interrogantes que surgieron desde el siglo III a.C. en la antigua Grecia. Y fue a partir de sus trabajos que hoy podemos ocuparnos de  lo “infinitamente pequeño” e “infinitamente grande”. Antes de sus trabajos, era imposible dar respuesta a la paradoja de Zenón, ni muchos menos poder indicar la velocidad de un móvil en un instante dado. Además, que difícil sería, por no decir imposible, hacer un análisis microscópico de los fenómenos de transporte que se dan en procesos industriales.

Se introducirá el concepto de derivada a través de dos problemas que le dieron origen, la velocidad instantánea  y la recta tangente a una curva en un punto. Una vez definida, se trabajará en las reglas para el cálculo de derivada, su relación con la continuidad de una función, derivadas sucesivas y luego se aplicará este concepto a diferentes situaciones de la vida real.

A partir del estudio arduo del concepto de derivada, de la experiencia propia  referida al tema y varios reportes de investigación, se puede afirmar que se logra un dominio razonable de los algoritmos algebraicos para calcular derivadas, pero existen dificultades en el concepto en sí mismo, en lo que significa. A esto se le suma los problemas para resolver situaciones de aplicación del concepto de derivada. Esto nos lleva a pensar que la manera de presentar el concepto es fundamental para superar estos obstáculos.

Otra dificultad es la formación del concepto de derivada sólo por la vía geométrica; la concepción de tangente formada en los estudiantes durante los años de educación escolar puede dificultar la aceptación de que la recta tangente, además “de tocar”, puede cortar a la curva, y aun así ser tangente en la zona del corte.